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Mathematik – Zahlenfolgen und Wachstumsprozesse


Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit der Nummer i, man sagt hier auch: mit dem Index i, wird i-tes Glied oder i-te Komponente der Folge genannt. Unendliche Folgen kann man natürlich nicht vollständig auflisten. Hier muss ein Bildungsgesetz für die Folgenglieder bekannt sein oder sich aus den aufgeschriebenen Anfangsgliedern zweifelsfrei ergeben. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die Analysis. Ist n die Anzahl der Glieder einer endlichen Folge, so spricht man von einer Folge der Länge n, einer n-gliedrigen Folge oder von einem n-Tupel. Die Folge ohne Glieder, deren Index-Bereich also leer ist, wird leere Folge, 0-gliedrige Folge oder 0-Tupel genannt. Zeitreihen, wie sie zum Beispiel durch die Aufzeichnung von Temperaturbeobachtungen oder Wirtschaftsdaten entstehen, können mathematisch als Folgen aufgefasst werden. In der Informatik kann man Felder (Arrays) als endliche Folgen auffassen. Unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren. Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis, denn auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen, die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der riemannsche Integralbegriff. Wichtige Folgen erhält man als Koeffizienten von Taylorreihen analytischer Funktionen. Manche elementare Funktionen führen dabei auf besondere Folgen, so die Tangens-Funktion auf die bernoullischen oder der Secans Hyperbolicus auf die eulerschen Zahlen. Zum Beweis der Konvergenz ist die Methode der Vollständigen Induktion ein nützliches Hilfsmittel. Eine Reihe ist eine spezielle Folge, deren einzelne Glieder sich aus der Summe der Glieder einer anderen Folge ergeben. Reihen finden in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung.

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