zufällige Doku

Mathematik – Quadratische Gleichungen


Die Mathematik hat immer der Logik bedurft, doch dauerte es sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen befasste. Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den »Paradoxien des Unendlichen« (Bernard Bolzano), wie man sie im Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem »Paradies der Mengenlehre« (David Hilbert) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen. Als sich die »naive« Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm zwischen Leibniz und Frege versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen (zum Beispiel arithmetischen) Mitteln (Gödel) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander. Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, unter anderem gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme. Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.

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