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Mathematik – Quadratische Funktionen


Die Analysis untersucht differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen Räumen, von den Zahlkörpern R und C bis zu Mannigfaltigkeiten und Hilbert-Räumen (und darüber hinaus). Sie war schon die Mathematik der Naturwissenschaften des 17. und 18. Jahrhunderts und ist es immer noch. Im Mittelpunkt der Analysis steht die Infinitesimalrechnung: Die Differentialrechnung beschreibt mit Hilfe der Ableitung eine Funktion »im Kleinen«; Integralrechnung und die Theorie der Differentialgleichungen ermöglichen es umgekehrt, aus der Ableitung auf die Funktion zu schließen. Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch Differentialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt. Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weitreichende Folgen hat. Solche Funktionen sind immer analytisch, d. h. im kleinen durch Potenzreihen darstellbar. Ihre Untersuchung heißt Funktionentheorie, sie gehört zu den großen Leistungen des 19. Jahrhunderts. Wie man die Erdoberfläche stückweise, oder wie man sagt, »lokal« oder »im kleinen« durch ebene Karten darstellen kann, definiert man Mannigfaltigkeiten als Hausdorff-Räume zusammen mit einem Atlas aus kompatiblen Karten, die eine Umgebung eines jeden Punktes in einen gewissen Modellraum abbilden. Mit einigen zusätzlichen Annahmen hinsichtlich der Karten kann man »Analysis auf Mannigfaltigkeiten« betreiben. Heute liegt der Cartansche Differentialformenkalkül der Übertragung analytischer Begriffe auf Mannigfaltigkeiten zugrunde; dabei kommt es darauf an, die neuen Begriffe »intrinsisch«, das heißt unabhängig davon zu definieren, welche konkrete Karten man zu ihrer Realisation benutzt. Für einen Großteil der Begriffe kann man das, wenngleich es nicht immer einfach ist und zu einer Reihe neuer Begriffsbildungen führt. Als ein Beispiel sei der Satz von Stokes genannt, der den Fundamentalsatz der Analysis verallgemeinert. Eine wichtige Rolle spielt diese Theorie in anderem Gewande, als Vektoranalysis und Ricci-Kalkül in der Physik. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind auch Gegenstand der Topologie (vgl. de-Rham-Kohomologie und Differentialtopologie); mit zusätzlichen Strukturen sind unter anderem riemannsche Mannigfaltigkeiten Thema der Differentialgeometrie. Aus der uralten Frage nach Maß und Gewicht erwuchs erst Anfang des 20. Jahrhunderts unter Aufnahme topologischer Begriffe die Maßtheorie, die dem gegenwärtigen, sehr leistungsfähigen Integralbegriff und seinen Anwendungen zugrunde liegt, aber auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ungefähr zur selben Zeit entwickelte sich aus dem Studium von Integral- und Differentialgleichungen die Funktionalanalysis als das Studium von Funktionenräumen und von deren Abbildungen (Operatoren). Die ersten Beispiele solcher Räume waren die Hilbert- und Banachräume. Sie erwiesen sich als der Untersuchung mit algebraischen wie topologischen Instrumenten zugänglich, und eine umfangreiche Theorie nahm hier ihren Ursprung.

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